Giai thừa - vấn đề phức tạp của toán học

Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", kí hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên:

n! = n.(n-1).(n-2)....4.3.2.1

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước n! = 1. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.
Định nghĩa đệ quy

Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau

1. 0! = 1
2. (n + 1)! =n! × (n + 1) với n> 0
3. vd: 3! = 2! x 3 = 6 (mà 2! = 2)

Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa
Giai thừa nguyên tố (primorial)

Giai thừa nguyên tố của số tự nhiên n≥2, ký hiệu n# là tích của tất các các số nguyên tố không vượt quá n.


Ví dụ:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

2#= 2
3#=2.3=6
4#=2.3=6
5#=2.3.5=30
6#=2.3.5=30
7#=2.3.5.7=210

Giai thừa kép

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.
Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là
1! . 2! . 4! . 3! = 288
Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (sequence A000178 in OEIS)

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ...